Основание системы счисления показывает, сколько цифр используется для записи числа.
Возьмем число в десятичной системе счисления, например 247,32, и представим его в следующем виде:
247,32 = 2*102 + 4*101 + 7*100 + 3*10-1+ 2*10-2
Мы записали число в развернутой форме, в которой:
- 2, 4, 7, 3, 2 - цифры числа;
- 10 - основание системы счисления;
- показатели степени: 2, 1, 0, -1, -2 соответствуют номеру позиции цифры в числе.
Основанием системе счисления может служить любое натуральное число: 2, 3, 4, и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем.
Пусть
q - основание системы счисления,
n - число разрядов целой части числа,
m - число разрядов дробной части числа,
ai - цифра числа,
Aq - само число.
Тогда развернутую форму для числа представленного в любой системе счисления можно записать в общем виде следующим образом:
Aq = an-1* qn-1 + an-2* qn-2 + ... + a0* q0 + a-1* q-1+ a-2* q-2+ ... +a-m* q-m
или
где qi - называется весом цифры числа
Определения
Вес цифры числа равен степени, где основание степени равно основанию системы счисления, а показатель номеру позиции цифры в числе.
Развернутая форма записи числа равна сумме произведений цифры числа на ее вес.
Примеры развернутых записей чисел в различных системах счисления:
- 423,31210 = 4*102 + 2*101 + 3*100 + 3*10-1 + 1*10-2 + 2*10-3
- 423,3125 = 4*52 + 2*51 + 3*50 + 3*5-1 + 1*5-2 + 2*5-3
- 423,3128 = 4*82 + 2*81 + 3*80 + 3*8-1 + 1*8-2 + 2*8-3
Развернутая форма служит для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную
Примеры перевода чисел из пятеричной и восьмеричной систем счисления в десятичную систему счисления:
- 423,3125 = 4*52 + 2*51 + 3*50 + 3*5-1 + 1*5-2 + 2*5-3 = 113,01651210
- 423,3128 = 4*82 + 2*81 + 3*80 + 3*8-1 + 1*8-2 + 2*8-3 = 275,00407410
Задания
Задание 1
Запишите в развернутом виде числа:
1435110 143518 143516 1435116
Задание 2
Запишите в десятичной системе числа:
8819 423,28 1203 100,54
Задание 3
Найдите серьезные ответы к "несерьезным" вопросам
"Несерьезные" вопросы | Серьезные ответы |
| Когда 2 x 2 = 100 ? | |
| Когда 2 x 2 = 11 ? | |
| Когда 10 — число нечетное ? | |
| Когда 2 x 3 = 11 ? | |
| Когда 3 x 3 = 13 ? |
Дайте пояснения к приведенным ответам.
Задание 4
Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа:
341, 123, 222, 111
Найдите десятичный эквивалент указанных чисел.
Задание 5
Текст и решение следующей задачи приводятся по книге "Занимательная арифметика" Якова Исидоровича Перельмана.
В бумагах одного чудака математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими удивительными словами:
"Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 11 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц" и т.д.
Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка ?